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  3. 已知(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(χ，y)，并问X与Y是否独立?为什么? (Ⅱ)求条件概率密度fX｜Y(χ｜y)，fY｜X(y｜χ)及条件概率P{X＋Y＞1｜X＜}； (Ⅲ)记Z1＝Y－X，

已知(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(χ，y)，并问X与Y是否独立?为什么? (Ⅱ)求条件概率密度fX｜Y(χ｜y)，fY｜X(y｜χ)及条件概率P{X＋Y＞1｜X＜}； (Ⅲ)记Z1＝Y－X，

admin2018-06-12  30
问题 已知(X，Y)的联合密度函数

    (Ⅰ)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(χ，y)，并问X与Y是否独立?为什么?
    (Ⅱ)求条件概率密度fX｜Y(χ｜y)，fY｜X(y｜χ)及条件概率P{X＋Y＞1｜X＜}；
    (Ⅲ)记Z1＝Y－X，求证Z1服从参数λ＝1的指数分布，并计算Z2＝X＋Y的概率密度．
选项
答案(Ⅰ)因为1＝∫－∞＋∞∫－∞＋∞f(χ，y)dχdy＝∫0＋∞dχ∫χ＋∞Ae－χe－ydy＝A∫0＋∞e－χdχ＝ [*]，所以A＝2． F(χ，y)＝P{X≤χ，Y≤y}＝∫－∞χ∫－∞yf(u，v)dudv， 当χ≤0或y≤0时，F(χ，y)＝0； 当0＜y≤χ时， F(χ，y)＝∫0ydu∫uy2e-ue-vdv＝2∫0y(e-2ue-ye-u)du ＝(－e-2u＋2e-ye-u)｜0y＝1－2e-y＋e-2y， 当0＜χ＜Y时， F(χ，y)＝∫0χdu∫uy2e-ue-vdv＝2∫0χ(e-2u－e-ye-u)du ＝(－e-2u＋2e-ye-u)｜0χ＝1－2e-y－e-2χ＋2e-(χ+y)． 综上得， [*] 因为FX(χ).FY(y)≠F(χ，y)，所以X与Y不独立． [*] (Ⅱ)由于X的概率密度 [*] Y的概率密度 [*] (Ⅲ)①通过求Z1＝Y－X的分布函数(或概率密度)来证明Z1服从参数λ＝1的指数分布． Z1＝Y－X的分布函数F1(z)＝P{Y－X≤z}＝[*]f(χ，y)dχdy， 当z≤0时，F1(z)＝0；当z＞0时， F1(z)＝∫0＋∞dχ∫χχ＋z2e－χe－ydy＝2∫0＋∞e－χ(e－χ－e－χe－z)dχ ＝(1－e－z)2∫0＋∞e－2χdχ＝1－e－z． 综上得[*] 所以Z1＝Y－X服从参数λ＝1的指数分布． [*] ②若(X，Y)～f(χ，y)，则Z2＝X＋Y，的概率密度 f2(z)＝∫－∞＋∞f(χ，z－χ)dχ＝∫－∞＋∞f(z－y，y)dy， 其中f(z－y，y)＝[*]， 即0＜y＜z＜2)，， 所以当z≤0时f2(z)＝0；当z＞0时 f2(z)＝[*]2e-zdy＝ze-z． 综上得f2(z)＝[*]
解析
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