2. 专升本
  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．

admin2019-03-07  17
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．
选项
答案xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)， 分离变量得[*]，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1， 整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C， 所以设F(x)=f(x)(1一x)k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导， 又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理， 故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．
解析
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