已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2016-01-11 19

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²-3x₃²+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为[*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6．于是，二次型f可通过正交变换x=Oy化为标准形f=y₁²+6y₂²—6y₃²．对于特征值λ₁=1，由于[*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，一1)^T．类似地，对应于特征值λ₁=6，λ₂=-6的特征向量可分别取为 ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，一1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得[*] 故对二次型f作正交变换[*] 则可将f化为标准形f=y₁²+6y₂²一6y₃²．

解析本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法．先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形．

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考研数学二

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设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1=-ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1-ξ2-2ξ3，Aξ3=2ξ1-2ξ1-2ξ2-ξ3，(1)求矩阵A的全部特征值；(2)求|A*+2E|．

设矩阵A=(1)若A有一个特征值为3，求a；(2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵。

设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r(0＜r＜n)．求|5E+A|．

设平面区域D：1＜x2+y2≤4，f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于()．

设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且=0，求证：存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。

设f(x)是区间上的正值连续函数，且若把I，J，K按其积分值从小到大的次序排列起来，则正确的次序是

设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．若α=(1，2，-1)T，求Aα；

世界银行贷款项目货物、工程采购和招标的主要方式中，竞争力最强的是()。

粒料基层的施工中，未筛分碎石的含水量较最佳含水量宜大于(　　)左右。

Nowadaysmanydocumentsareusedininternationalcargotransportation，someofthedocumentscanbetransferredtothethirdpar

我国政府已经部分加入了《ATA公约》和《货物暂准进口公约》，目前ATA单证册在我国仅适用于部分货物，按照现行的规定，下列不属于ATA单证册适用范围的货物是(　　)。

()是指金融衍生工具的价值与基础产品或基础变量紧密联系、规则变动。

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在集贸市场上买东西，讨价还价是普遍的现象。商品的卖者总是抬高卖价，买者总是压低买价，而商品最后的成交价格，则往往是买卖双方协商的结果。这种现象表明市场价格的形成()。

标志毛泽东思想走向成熟的是()

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