2. 考研
  3. 设，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为，求a，Q．

设，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为，求a，Q．

admin2021-01-19  23
问题 设，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为，求a，Q．
选项
答案记[*]．由 Aα1＝λ1α1，即[*] 得a＝－1，λ＝2，因此[*] 由｜λE－A｜＝[*] ＝(λ＋4)(λ－2)(λ－5)＝0． 得A的特征值为 λ1＝2，λ2＝－4，λ3＝5，且对应于λ1＝2的特征向量为 [*] 当λ2＝－4时，(－4E－A)＝[*] 由(－4E—A)x＝0得对应于λ2＝－4的特征向量为 α2＝(－1，0，1)T． 当λ3＝5时，(5E—A)＝[*] 由(5E—A)x＝0得对应于A。一5的特征向量为α3＝(1，－1，1)T． 将α1，α2，α3单位化得：[*] 因A为实对称矩阵，α1，α2，α3为对应于不同特征值的特征向量，所以η1，η2，η3为单位正交向量组．令Q＝(η1，η2，η3)＝[*]，则Q为正交矩阵，QTAQ＝[*]。
解析 本题考查实对称矩阵的正交对角化问题．由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q．
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考研数学二

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