已知y1*=χeχ+e2χ,y2*=χeχ+eχ-χ,y3*=χeχ+e2χ-e-χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.

admin2016-10-21  40

问题 已知y1*=χeχ+e,y2*=χeχ+eχ-χ,y3*=χeχ+e-e-χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*-y3*=e-χ,y2*-y3*=2e-χ-e. 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1=e-χ,y2=2(y1*-y3*)-(y2*-y3*)=e, 它们是线性无关的.为简单起见,我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*=y1*-y1=χeχ. 因此该非齐次方程的通解是y=C1e-χ+C2e+χeχ,其中C1,C2为任意常数. 由通解结构易知,该非齐次方程是:二阶线性常系数方程 y〞+py′+qy=f(χ). 它的相应特征根是λ1=-1,λ2=2,于是特征方程是 (λ+1)(λ-2)=0,即λ2-λ-2=0. 因此方程为y〞-y′-2y=f(χ). 再将特解y4*=χeχ代入得 (χ+2)eχ-(χ+1)eχ-2χeχ=f(χ),即f(χ)=(1-2χ)eχ 因此方程为y〞-y′-2y=(1-2χ)eχ

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/gIzRFFFM
0

最新回复(0)