2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明： (Ⅰ)存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)； (Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)=－3f(η)g’(η)。

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明： (Ⅰ)存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)； (Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)=－3f(η)g’(η)。

admin2017-11-30  43
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：
  (Ⅰ)存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)；
  (Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)=－3f(η)g’(η)。
选项
答案(Ⅰ)令φ(x)=e－2xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，根据罗尔定理，存在一点ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－2x[f’(x)－2f(x)]且e－2x≠0，所以f’(ξ)=2f(ξ)。 (Ⅱ)令h(x)=f(x)e3g(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以h(a)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在一点η∈(a，b)，使得h’(η)=0，而h’(x)=e3g(x)[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e3g(x)≠0，所以f’(η)=－3f(η)g’(η)。
解析
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考研数学三

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