(2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有【】

admin2016-05-30 47

问题 (2002年)设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，向量β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，而向量β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则对于任意常数k，必有【】

选项 A、α₁，α₂，α₃，kβ₁＋β₂线性无关．
B、α₁，α₂，α₃，kβ₁＋β₂线性相关．
C、α₁，α₂，α₃，β₁＋kβ₂线性无关．
D、α₁，α₂，α₃，β₁＋kβ₂线性相关．

答案A

解析由已知，存在常数β，l，l，l，使得
β₁＝l₁α₁＋l₂α₂＋l₃α₃ (*)
如果kβ₁＋β₂可由α₁，α₂，α₃线性表示，则存在常数m₁，m₂，m₃，使得
kβ₁＋β₂＝m₁α₁＋m₂α₂＋m₃α₃ (**)
将(*)式代入(**)式，可得
β₂＝(m₁－kl₁)α₁＋(m₂－kl₂)α₂＋(m₃－kl₃)α₃
即β₂可由α₁，α₂，α₃线性表示，这与已知条件矛盾，故kβ₁＋β₂必不能由α₁，α₂，α₃线性表示．再根据结论：“若α₁，α₂，α₃线性无关，则向量β不能由α₁，α₂，α₃线性表示

α₁，α₂，α₃，β线性无关”，便可推知α₁，α₂，α₃，kβ₁＋β₂线性无关，因此，选项A正确．

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考研数学二

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