2. 考研
  3. (18)设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数． (1)求f(x1，x2，x3)=0的解； (2)求f(x1，x2，x3)的规范形．

(18)设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数． (1)求f(x1，x2，x3)=0的解； (2)求f(x1，x2，x3)的规范形．

admin2018-08-01  62
问题 (18)设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．
(1)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(2)求f(x1，x2，x3)的规范形．
选项
答案(1)f(x1，x2，x3)=[*] 对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换： [*] 可见当a-2≠0，即a≠2时，该方程组只有零解x=0，即方程f=0只有零解x=0； 当a=2时，由 [*] 得方程组的通解、即方程f(x1，x2，x3)=0的解为 x=[*]，k为任意实数． (2)由(1)知当a≠2时，f是正定的，因此f的规范形是f=f12+f22+f32； 当a=2时，对f配方得 f=2(x1-[*]x2+[*]x3)2+[*](x2+x3)2， 可见f的秩为2，f的正惯性指数也是2，所以f的规范形是f=y12+y22．
解析
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考研数学二

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