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  3. 已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数． (I)当f(x)=x时，求微分方程的通解． (Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．

admin2018-03-26  29
问题 已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数．
(I)当f(x)=x时，求微分方程的通解．
(Ⅱ)当f(x)为周期为T的函数，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．
选项
答案(I)通解y(x)=e-∫1dx(∫xe∫1dxdx+C)=e-x(∫xexdx+C) =e-x[(x一1)ex+C] =(x一1)+Ce-x． (Ⅱ)证明：设f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期． 通解y(x)=e-∫1dx[∫f(x)e∫1dxdx+C]=e-x[∫f(x)exdx+C]=e-x∫f(x)exdx+Ce-x． 设y(x)=e-x∫Txf(x)exdx+Ce-x，则有 y(x+T)=e-(x+T)∫Tx+Tf(t)etdt+Ce-(x+T) [*]e-(x+T)∫0xf(u+T)eu+Td(u+T)+(Ce-T).e-x =e-(x+T)∫0xf(u)eu.eTdu+(Ce-T).e-x =e-x∫0xf(u)eudu+(Ce-T).e-x， 即y(x+T)依旧是方程的通解，结论得证．
解析
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考研数学一

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