(2001年)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(χ，y)(χ＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线．使该切线与L以及两坐标轴所围图形的

admin2021-01-19 29

问题 (2001年)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(χ，y)(χ＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(

，0)．
(1)试求曲线L的方程；
(2)求L位于第一象限部分的一条切线．使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

选项

答案(1)设曲线L过点P(χ，y)的切线方程为Y－y＝y′(X－χ)，令X＝0，则得该切线在y轴上的截距为y－χy′由题设知 [*] 由L经过点([*]，0)，知C＝[*]，于是L的方程为 [*] (2)设第一象限内曲线y＝[*]－χ²，在点P(χ，y)处切线方程为 [*] 它与χ轴及y轴交点分别为[*]，所求面积为 [*] 令S′(χ)＝0，解得χ＝[*] 当0＜χ＜[*]时，S′(χ)＜0；χ＞[*]时，S′(χ)＞0，因而χ＝[*]是S(χ)在(0，[*] )内的唯一极小点，于是所求切线为 [*]

解析

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考研数学二

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(2001年)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(χ，y)(χ＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线．使该切线与L以及两坐标轴所围图形的

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