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  3. 设且B=P－1AP． (Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量； (Ⅱ)当时，求矩阵B； (Ⅲ)求A100．

设且B=P－1AP． (Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量； (Ⅱ)当时，求矩阵B； (Ⅲ)求A100．

admin2015-05-07  48
问题 设且B=P－1AP．
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量；
    (Ⅱ)当时，求矩阵B；
    (Ⅲ)求A100．
选项
答案(Ⅰ)由矩阵A的特征多项式 [*] 得矩阵A的特征值λ1=λ2=1，λ3=－3． 由齐次线性方程组(E－A)x=0，[*] 得基础解系η1=(－4，1，2)T． 由齐次方程组(－3E－A)x=0，[*] 得基础解系η2=(－2，1，1)T． 因此，矩阵A关于特征值λ1=λ2=1的特征向量为k1(－4，1，2)T，k1≠0；而关于特征值 λ=－3的特征向量为k2(－2，1，1)T，k2≠0． [*] (Ⅲ)由P－1AP=B有P－1A100P=B100，故A100=PB100p－1．又 [*] 于是 [*]
解析
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考研数学一

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