证明方程ex=-x2+ax+b不可能有三个不同的根．

admin2022-10-12 42

问题证明方程e^x=-x²+ax+b不可能有三个不同的根．

选项

答案令f(x)=e^x+x²-ax-b，则方程e^x=-x²+ax+b根的个数与f(x)的零点个数相同．不妨设存在x₁＜x₂＜x₃，使得f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)=0，由罗尔定理，存在ξ₁∈(x₁，x₂)，ξ₂∈(x₂，x₃)，使得f’(ξ₁)=f’(ξ₂)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)∈(x₁，x₂)，使得f"(ξ)=0，而f"(x)=e^x+2≠0，矛盾，故方程e^x=-x²+ax+b不可能有三个不同的根．

解析

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考研数学三

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