设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ＝，又α＝且A*α＝α． (Ⅰ)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2022-09-14 39

问题设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得Q^TAQ＝

，又α＝

且A^*α＝α．
(Ⅰ)求正交矩阵Q；
(Ⅱ)求矩阵A．

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝2，A^*的特征值为μ₁＝μ₂＝－2，μ₃＝1．因为α为A^*的属于特征值μ₃＝1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ₃＝2的特征向量，令α＝α₃．令A的属于特征值λ₁＝λ₂＝－1的特征向量为ξ＝[*]，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以－χ₁－χ₂＋χ₃＝0，则A的属于特征值λ₁＝λ₂＝－1的线性无关的特征向量为[*] [*]

解析

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考研数学二

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