设α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，其中α1，α2，…，αs是齐次方程组AX=0的基础解系．证明Aβ1，Aβ2，…，Aβt线性无关．

admin2018-06-27 27

问题设α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关，其中α₁，α₂，…，α_s是齐次方程组AX=0的基础解系．证明Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_t线性无关．

选项

答案用定义法证．设c₁Aβ₁+c₂Aβ₂+…+c_tAβ_t=0．则A(c₁β₁+c₂β₂+…+c_tβ_t)=0即c₁β₁+c₂β₂+…+c_Tβ_T是AX=0的一个解．于是它可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示： c₁β₁+c₂β₂+…+c_tβ_t=x₁α₁+t₂α₂+…+t_sα_s，再由α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关，得所有系数都为0．

解析

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考研数学二

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设向量组α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示．(1)求a的值．(2)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示
确定常数a，使向量组α1＝(1，1，a)，α2＝(1，a，1)，α3一(a，1，1)可由向量组β1＝(1，1，a)。β2＝(－2，a，4)，β2＝(－2，a，a)线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
设，其中c1，c2，c3，C4为任意常数，则下列向量组线性相关的为
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3．(1)证明α1，α2，α3线性无关；(2)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．
试证明n维列向量组α1，α2，…αn线性无关的充分必要条件是
已知齐次线性方程组其中．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵，α1,α2,α3,α4是4维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，一2，4，0)T，又B=(α3，α2，α1，β一α4)．求方程组Bx=αl—α2的通解．
设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有
已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求齐次方程(ii)的解．
设A3×3=[α1,α2,α3]，方程组Ax=β有通解kξ+η=kE1，2，一3]T+[2，一1，1]T，其中k是任意常数．证明：方程组(α1,α2)x=β有唯一解，并求该解；

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