设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (Ⅰ)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．

admin2014-11-26 39

问题设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(Ⅰ)将x=x(y)所满足的微分方程

变换为y=y(x)所满足的微分方程；
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=

的解．

选项

答案(Ⅰ)[*]代入原方程得y”—y=sinx． (Ⅱ)特征方程为r²一1=0，特征根为r_1，2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为 y^*=acosx+bsinx．代入方程得a=0，b=[*]故[*]于是方程的通解为[*]由初始条件得C₁=1，C₂=一1，满足初始条件的特解为y=e^x一e^-x一[*]

解析

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考研数学一

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