2. 考研
  3. 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是

admin2021-01-19  65
问题 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是
选项 A、λ1≠0
B、λ2≠0
C、λ1=0
D、λ2=0
答案B
解析 由λ1≠λ2及特征值的性质知α1，α2线性无关．显然，向量组{α1，A(α1+α2)}={α1，λ1α1+λ2α2}等价于向量组{α1，α2，α3}．当λ2≠0时，它线性无关，当λ2=0时，它线性相关，故α1，A(α1+α2)线性无关λ2≠0．
由条件知α1，α2线性无关，而
[α1，A(α1+α2)]=[α1，λ1α1+λ2α2]=[α1，α2]
由于用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，得
α1，A(α1+α2)线性无关=λ2≠0．
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考研数学二

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