设有n元实二次型(χ1,χ2,…,χn)=(χ1+a1χ2)2+(χ1+a2χ3)2+…+(χn-1+an-1χn)2+(χn+anχ1)2,其中ai(i=1,2,…n)为实数,试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(χ1,χ2,…,χn)为

admin2017-05-24  38

问题 设有n元实二次型(χ1,χ2,…,χn)=(χ1+a1χ2)2+(χ1+a2χ3)2+…+(χn-1+an-1χn)2+(χn+anχ1)2,其中ai(i=1,2,…n)为实数,试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(χ1,χ2,…,χn)为正定二次型。

选项

答案由题设条件可知,对于任意的χ1,χ2,…,χn,有f(χ1,χ2,…,χn)≥0,其中等号当且仅当 [*] 同时成立。上述方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零,即 [*] 所以,当1+(-1)n+1a1a2…an≠0时,对应任意的不全为零的χ1,χ2,….χn,有f(χ1,χ2,…χn)>0.即当a1a2…an≠(-1)n时,此时二次型f(χ1,χ2…χn)为正定二次型。

解析
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