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设A为3阶方阵,且有3个相异的特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3,证明:β,Aβ,A2β线性无关.
设A为3阶方阵,且有3个相异的特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3,证明:β,Aβ,A2β线性无关.
admin
2019-12-26
39
问题
设A为3阶方阵,且有3个相异的特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
,对应的特征向量依次为α
1
,α
2
,α
3
,令β=α
1
+α
2
+α
3
,证明:β,Aβ,A
2
β线性无关.
选项
答案
因为Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1,2,3),则 Aβ=A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
, A
2
β=A(Aβ)=A(λ
1
α
1
+λ
1
α
2
+λ
3
α
3
)=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
. 设存在常数k
1
,k
1
,k
3
,使 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0, 进而得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0. 由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,于是有 [*] 其系数行列式 [*] 故k
1
=k
2
=k
3
=0,所以,β,Aβ,A
2
β线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/eNiRFFFM
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