(00年)设向量组α1(a,2,10)T,α2=(-2,1,5)T,α3=(-1,1,4)T,β=(1,b,c)T.试问:当a,b,c满足什么条件时 (1)β可由α1,α2,α3线性表出,且表示唯一? (2)β不能由α1,α2,α3线性表出

admin2017-05-26  37

问题 (00年)设向量组α1(a,2,10)T,α2=(-2,1,5)T,α3=(-1,1,4)T,β=(1,b,c)T.试问:当a,b,c满足什么条件时
    (1)β可由α1,α2,α3线性表出,且表示唯一?
    (2)β不能由α1,α2,α3线性表出?
    (3)β可由α1,α2,α3线性表出,但表示不唯一?并求出一般表达式.

选项

答案设有一组数k1,k2,k3,使得 k1α1+k2α2+k3α3=β 该方程组的系数行列式 [*] (1)当a≠-4时,|A|≠0,方程组有唯一解,β可由α1,α2,α3唯一地线性表出. (2)当a=-4时,对增广矩阵作行的初等变换,有 [*] 若3b-c≠1,则秩(A)≠秩([*]),方程组无解,β不能由α1,α2,α3线性表出. (3)当a=-4,且3b-c=1时,秩(A)=秩([*])=2<3,方程组有无穷多解,β可由α1,α2,α3线性表出,但表示不唯一.此时,解得 k1=t,k2=-2t-b-1,k3=2b+1(t为任意常数) 因此有 β=tα1-(2t+b+1)α2+(2b+1)α3

解析
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