2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0且f′++(a)f′(b)＞0， 证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)+2f(ξ)=3f′(ξ)．

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0且f′++(a)f′(b)＞0， 证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)+2f(ξ)=3f′(ξ)．

admin2022-12-09  1
问题 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0且f′++(a)f′(b)＞0，
证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)+2f(ξ)=3f′(ξ)．
选项
答案不妨设f′+(a)＞0，f′-(b)＞0， 因为f′+(a)＞0，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0， 因为f′-(a)＞0，所以存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0， 因为f(x1)f(x2)＜0，所以存在c∈(x1，x2)[*](a，b)，使得f(c)=0； 令h(x)=e-xf(x)，显然h(a)=h(c)=h(b)=0， 由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0， 而h′(x)=e-x[f′(x)-f(x)]且e-x≠0，故f′(ξ1)-f(ξ1)=0，f′(ξ2)-f(ξ2)=0； 令φ(x)=e-2x[f′(x)-f(x)]，显然φ(ξ1)=φ(ξ2)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ′(ξ)=0， 而φ′(x)=e-2x[f″(x)-3f′(x)+2f(x)]且e-2x≠0， 故f″(ξ)-3f′(ξ)+2f(ξ)=0，即f″(ξ)+2f(ξ)=3f′(ξ)．
解析
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考研数学三

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