2. 考研
  3. [2012年] 已知二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2． 求正交变换X=QY将f化为标准形．

[2012年] 已知二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2． 求正交变换X=QY将f化为标准形．

admin2019-06-25  49
问题 [2012年]  已知二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2．
求正交变换X=QY将f化为标准形．
选项
答案令[*] [*] 故B=ATA的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0． 解(2E－B)X=0，得线性无关的特征向量α1=[1，－1，0]T； 解(6E－B)X=0，得线性无关的特征向量α2=[1，1，2]T； 解(0E－B)X=0，得线性无关的特征向量α3=[1，1，－1]T． 因λ1，λ2，λ3互异，B为实对称矩阵，故α1，α2，α3必正交，故只需单位化，得到 [*] 令Q=[β1，β2，β3]，则Q为正交矩阵，在正交变换X=QY下，有 QTBQ=QT(ATA)Q=A=diag(2，6，0)， 即二次型f化为标准形f=2y12+6y22．
解析
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考研数学三

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