2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=f(ξ)．

设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=f(ξ)．

admin2022-06-30  29
问题 设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f’(1)=f’(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=f(ξ)．
选项
答案令φ(x)=e－x[f(x)+f’(x)]， φ(0)=φ(1)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0， 而φ’(x)=e－x[f"(x)－f(x)]且e－x≠0，故f"(ξ)=f(ξ)．
解析
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考研数学二

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