2. 考研
  3. 设f在x=0连续，且对任何x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)．证明： f(x)=f(1)x．

设f在x=0连续，且对任何x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)．证明： f(x)=f(1)x．

admin2022-10-31  35
问题 设f在x=0连续，且对任何x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)．证明：
f(x)=f(1)x．
选项
答案对整数p，q(≠0)有 -f(p)=f(1+1+…+1)=f(1)+…+f(1)=pf(1)， [*] 于是对任何有理数r有f(r)=rf(1)． 对任何无理数α，存在有理数列{rn}，使得[*]rn=α．由于在R上的连续性知， [*] 故对任何x∈R，f(x)=xf(1)．
解析
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考研数学三

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