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设A是n阶反对称矩阵。 (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。
设A是n阶反对称矩阵。 (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。
admin
2019-07-19
8
问题
设A是n阶反对称矩阵。
(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是儿为偶数；当n为奇数时，A
*
是对称矩阵；
(Ⅱ)试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。
选项
答案
(Ⅰ)根据反对称矩阵的定义：A
T
=-A，则 ｜A｜=｜A
T
｜=｜-A｜=(-1)
n
｜A｜， 即[1-(-1)
n
]｜A｜=0。 若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。 因为A
T
=-A，则由(A
*
)
T
=(A
T
)
*
有 (A
*
)
t
=(A
t
)
*
=(-A)
*
。 又因(lA)
*
=l
n-1
A
*
，故当n=2k+1时，有 (A
*
)
T
=(-1)
2K
A
*
=A
*
， 即A
*
是对称矩阵。 (Ⅱ)例如，A=[*]是4阶反对称矩阵，且不可逆。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/chQRFFFM
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考研数学一
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