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设矩阵A=仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
设矩阵A=仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
admin
2022-09-22
39
问题
设矩阵A=
仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
|λE-A|=[*]=(λ-b)(λ-1)(λ-3). 因为矩阵A仅有两个不同的特征值,所以b=1或b=3. ①当b=1时,A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=3. 因为A相似于对角矩阵,所以r(E-A)=1, E-A=[*]所以a=1, (E-A)x=0的基础解系为α
1
=[*],α
2
=[*], (3E-A)x=0的基础解系为α
3
=[*] 令P=[*],则P
-1
AP=[*] ②当b=3时,A的特征值为λ
1
=λ
2
=3,λ
3
=1. 因为A相似于对角矩阵,所以r(3E-A)=1, 3E-A=[*],所以a=-1, (3E-A)x=0的基础解系为α
1
=[*],α
2
=[*] (E-A)x=0的基础解系为α
3
=[*] 令P=[*],则P
-1
AP=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/cahRFFFM
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