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讨论黎曼函数f(x)=在区间[0,1]上的不连续点的类型.
讨论黎曼函数f(x)=在区间[0,1]上的不连续点的类型.
admin
2022-10-31
38
问题
讨论黎曼函数f(x)=
在区间[0,1]上的不连续点的类型.
选项
答案
(1)先证f(x)在[0,1]上无理点都连续.设无理数ξ∈[0,1].∵|f(x)-f(ξ)|=f(x). ∴对[*]ε>0,若x为0,1或无理数,总有|f(x)-f(ξ)|=f(x)=0<ε.若x=p/q,在[0,1]中既约分数的分母不大于n(n=2/ε)的仅有有限个,选其中最接近于ξ的,记为x’,取δ=|ξ-x’|,则当[*]<δ时,有|f(x)-f(ξ)|=[*]. (2)再证(0,1)上的有理点均为f(x)的第二类间断点.设有理数p/q∈(0,1),取无理数列{x
n
},使得[*].再取有理数列{y
n
},使[*].从而[*]不存在,即p/q为f(x)的第二类间断点. (3)类似可证1不是f(x)的左连续点,0是f(x)的右连续点.
解析
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考研数学三
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