2. 考研
  3. (Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限．

(Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限．

admin2019-06-09  51
问题 (Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根；
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明xn存在，并求此极限．
选项
答案(Ⅰ)令f(x)=xn+xn一1+…+x一1(x＞1)，则f(x)在[[*]，1]上连续，且 [*] 由闭区间上连续函数的介值定理知，方程f(x)=0在([*]，1)内至少有一个实根． 当 x ∈([*]，1)时 ， f(x) =nxn一1+ (n一1)xn一2+…+2x+1＞ 1 ＞ 0， 故f(x)在([*]，1)内单调增加． 综上所述，方程f(x)=0在([*]，1)内有且仅有一个实根． (Ⅱ)由xn∈([*]，1)知数列{xn}有界，又 xnn+xnn一1+…+xn=1 xn+1n+1+xn+1n+xn+1n一1+…+xn+1=1 因为xn+1n+1＞0，所以 xnn+xnn一1+…+xn＞xn+1n+xn+1n一1+…+xn+1 于是有 xn＞xn+1，n=1，2，…， 即{xn}单调减少． 综上所述，数列{xn}单调有界，故{xn}收敛． [*]
解析
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考研数学二

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