2. 考研
  3. 设f(x)有二阶连续导数，且f′(0)=0，=1，则( )．

设f(x)有二阶连续导数，且f′(0)=0，=1，则( )．

admin2019-04-05  16
问题 设f(x)有二阶连续导数，且f′(0)=0，=1，则(    )．
选项 A、f(0)是f(x)的极大值
B、f(0)是f(x)的极小值
C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
答案B
解析  利用极限性质即命题1．2．5．2判别，也可用泰勒公式分析讨论(因函数二阶可导)．此外，还可利用一阶导数符号判别．
解一  f″(0)==0．由=1的保号性知，在x=0的某去心邻域内，有f″(x)／∣x∣＞0，从而f″(x)＞0．曲线为凹，说明(0，f(0))不是拐点，排除(C)．又由f′(0)=0及泰勒公式f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(ξ)x2／2，得到
f(x)一f(0)=f″(ξ)x2／2＞0，
再由极小值的定义知，f(0)为极小值．仅(B)入选．
  解二  由极限的保号性知，在x=0的空心邻域内有f″(x)／∣x∣＞0．
因而在x=0的空心邻域内f″(x)＞0，于是f′(x)单调增．又f′(0)=0，则
当x＜0时，f′(x)＜f′(0)=0；当x＞0时，f′(x)＞f′(0)=0．由极值的一阶导数判别法知，f(0)是f(x)的极小值．仅(B)入选．
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考研数学二

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