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给定常数c＞0，定义函数f(χ)＝2｜χ＋c＋4｜－｜χ＋c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1＝f(an)，n∈N+． (1)求证：对任意n∈N+，都有an+1－an≥c； (2)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?
给定常数c＞0，定义函数f(χ)＝2｜χ＋c＋4｜－｜χ＋c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1＝f(an)，n∈N+． (1)求证：对任意n∈N+，都有an+1－an≥c； (2)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?
admin
2015-12-09
42
问题
给定常数c＞0，定义函数f(χ)＝2｜χ＋c＋4｜－｜χ＋c｜．数列a
1
，a
2
，a
3
，…满足a
n+1
＝f(a
n
)，n∈N
+
．
(1)求证：对任意n∈N
+
，都有a
n+1
－a
n
≥c；
(2)是否存在a
1
，使得a
1
，a
2
，…，a
n
，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a
1
；若不存在，说明理由．
选项
答案
(1)因为c＞0，故 ①χ≥－c时，f(χ)＝2(χ＋c＋4)－(χ＋c)＝χ＋c＋8． 则a
n+1
－a
n
＝f(a
n
)－a
n
＝a
n
＋c＋8－a
n
＝c＋8＞c； ②当－c－4≤χ＜－c时，f(χ)＝2(χ＋c＋4)＋(χ＋c)＝3χ＋3c＋8，则a
n+1
－a
n
＝f(a
n
)－a
n
＝3a
n
＋3c＋8－a
n
＝2a
n
＋3c＋8≥2(－c－4)＋3c＋8＝c； ③当χ＜－c－4时，f(χ)＝－2(χ＋c＋4)＋(χ＋c)＝－χ－c－8， 则a
n+1
－a
n
＝f(a
n
)－a
n
＝－a
n
－c－8－a
n
＝－2a
n
－c－8＞－2(－c－4)－c－8＝c． 所以，对于任意n∈N
+
，都有a
n+1
－a
n
≥c． (2)假设存在a
1
，使得a
1
，a
2
，…，a
n
，…成等差数列． 则由(1)及c＞0可得，a
n+1
＞a
n
，即{a
n
}为无穷递增数列． 又因为{a
n
}为等差数列，所以存在正数N，当n＞N时，a
n
≥－c，此时a
n+1
＝f(a
n
)＝a
n
＋c＋8， 则公差d＝c＋8． ①当a
1
＜－c－4时，a
2
＝f(a
1
)＝－a
1
－c－8， 又因为a
2
＝a
1
＋d＝a
1
＋c＋8，两式联立，得a
1
－c－8，a
2
＝0． 则当n≥2时，因为{a
n
}为无穷递增数列，故a
n
≥a
2
＝0＞－c， 即当n≥2时，a
n+1
－a
n
＝f(a
n
)－a
n
＝c＋8成立，又a
2
－a
1
＝c＋8， 故{a
n
}为无穷等差数列，首项a
1
＝－c－8，公差d＝c＋8； ②当－c－4≤a
1
＜－c时，a
2
＝f(a
1
)＝3a
1
＋3c＋8， 又因为a
2
＝a
1
＋d＝a
1
＋c＋8，两式联立，得a
1
－c，a
2
＝8，应舍去； ③当a
1
≥－c时，因为a
n
≥a
1
，则在n∈N
+
时，均有a
n+1
－a
n
＝f(a
n
)－a
n
＝c＋8，故{a
n
}为无穷等差数列． 综上所述，存在a
1
，使得a
1
，a
2
，…，a
n
，…成等差数列，a
1
的取值范围为{－c－8}∪[－c，＋∞)．
解析
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