设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立，已知f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．

admin2019-05-19 4

问题设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x成立，已知f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．

选项

答案axe^x

解析由f’(0)存在，设法去证对于一切x，f’(x)都存在，并求出f(x)．
将y=0代入f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，得
f(x)=f(x)+f(0)e^x，
所以f(0)=0．

令△x→0，得 f’(x)=f(x)+e^xf’(0)=f(x)+ae^x，
所以f’(x)存在．解此一阶微分方程，得
f(x)=e^x(∫ae^x.e^-xdx+C)=e^x(ax+C)．
因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=axe^x．

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考研数学三

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