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  3. 设函数f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且(A为常数)，求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

设函数f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且(A为常数)，求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

admin2019-04-08  21
问题 设函数f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且(A为常数)，求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．
选项
答案作变量代换，令xt=u，得到φ(x)=(∫0xf(u)du)／x(x≠0)，从而 φ’(x)=[xf(x)一∫0xf(u)du]/x2 (x≠0). 又由[*]知，[*]，而f(x)在x=0处连续，故[*]，从而φ(0)=∫01f(0)dt=0．由导数定义有 [*] 由于[*] 从而知φ’(x)在x=0处连续．
解析
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考研数学一

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