设函数f(x)连续,φ(x)=∫01f(xt)dt,且(A为常数),求φ’(x),并讨论φ’(x)在x=0处的连续性.

admin2019-04-08  21

问题 设函数f(x)连续,φ(x)=∫01f(xt)dt,且(A为常数),求φ’(x),并讨论φ’(x)在x=0处的连续性.

选项

答案作变量代换,令xt=u,得到φ(x)=(∫0xf(u)du)/x(x≠0),从而 φ’(x)=[xf(x)一∫0xf(u)du]/x2 (x≠0). 又由[*]知,[*],而f(x)在x=0处连续,故[*],从而φ(0)=∫01f(0)dt=0.由导数定义有 [*] 由于[*] 从而知φ’(x)在x=0处连续.

解析
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