设f(x)在[1,+∞)内可导,f’(x)<0,且=a>0. 令an=-∫1nf(x)dx,证明:{an}收敛且0≤≤f(1).

admin2021-11-25  46

问题 设f(x)在[1,+∞)内可导,f’(x)<0,且=a>0.
令an=-∫1nf(x)dx,证明:{an}收敛且0≤≤f(1).

选项

答案因为f’(x)<0,所以f(x)单调减少。 又因为an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n,n+1]), 所以{an}单调减少。 因为an=[*]∫kk+1[f(k)-f(x)]dx+f(n),而∫kk+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1,2,...,n-1) 且[*],所以存在X>0,当x>X时,f(x)>0. 由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1,+∞)),故a≥f(n)>0,所以[*]存在。 由an=f(1)+[f(2)-∫12f(x)dx]+...+[f(n)-∫n-1nf(x)dx], 而f(k)-∫k-1kf(x)dx≤0(k=2,3,...,n),所以an≤f(1),从而0≤[*]≤f(1).

解析
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