设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα－2A2α．证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

admin2015-05-07 38

问题设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3Aα－2A²α．
证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A⁴α)可逆；
(Ⅱ)B^TB是正定矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由于A³α=3Aα－2A²α，故 A⁴α=3A²α－2A³α=3A²α－2(3Aα－2A²α)=7A²α－6Aα．若k₁α+k₂Aα+k₃A⁴α=0，即k₁α+k₂Aα+k₃(7A²α－6Aα)=0，亦即k₁α+(k₂－6k₃)Aα+7k₃A²α=0，因为α，Aα，A²α线性无关，故 [*] 所以，α，Aα，A⁴α线性无关，因而矩阵B可逆． (Ⅱ)因为(B^TB)^T=B^T(B^T)^T=B^TB，故B^TB是对称矩阵．又[*]≠0，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)>0，故二次型x^T(B^TB)x是正定二次型，从而矩阵B^TB是正定矩阵．

解析

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考研数学一

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设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα－2A2α．证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

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设，则(A*)-1=________．

设n维行向量α=[1/2，0，…，0，1/2]，矩阵A=E-αTα，B=E+2αTα，则AB=()．

已知A，B为同阶可逆矩阵，则()．

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

已知方程组与方程组求方程组(*)的基础解系和通解；

按两种不同积分次序化二重积分为二次积分，其中D为：直线y=0，曲线y=sinx(0≤x≤π)所围闭区域；

设u=f(x，y，z)，ψ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，ψ具有一阶连续的偏导数，且≠0，求

设x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)均为由方程f(x，y，z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，证明x’y·y’x·z’x=一1．

设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)：DX+DY是X和Y

设Z；＝Xi＋Xn＋i＝1,2，…，n)，为从总体Z中取出的样本容量为n,的样本．则E(Zi)＝E(Xi)＋E(Xn＋i)＝μ＋μ＝2μD(Zi)＝D(Xi＋Xn+i)＝D(xi)＋D(Xn+i)(Xi与Xn＋i相互独立)＝σ2＋σ2＝2σ2∴Z－N

Sofarthereisnoproof______peoplefromotherplanetsdoexist.

Asubstantialhikeinthetoprateofincometaxwouldnotsolvethisproblembutmerelyaggravatethenation’salreadywanings

手术后试行离床活动的时间是

经过羁押必要性审查，下列情形中人民检察院应当向办案机关提出释放或者变更强制措施建议，下列哪一选项正确?

专利权的客体不包括(　　)。

下列应当认定为工伤的情形有()。

米开朗基罗在西斯廷礼拜堂创作__________，表达对意大利现状的不满。

根据我国《宪法》的规定，实行个人负责制的中央国家机关是()。

2002November14—18,’022002ACMConferenceonComputerSupportedCooperativeWork.WestinHotel,MinneapolisUSA.November1

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