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  3. (1)验证函数满足微分方程． y"+y′+y=ex； (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

(1)验证函数满足微分方程． y"+y′+y=ex； (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

admin2019-12-26  39
问题 (1)验证函数满足微分方程．
            y"+y′+y=ex；
(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．
选项
答案(1)先验证该幂级数的收敛区间是(－∞，+∞)．这是缺项的幂级数，令t=x3，则 [*] t∈(－∞，+∞)，从而x∈(－∞，+∞)时，原级数收敛． 其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导． [*] 于是 [*] (2)因为幂级数[*]的和函数y(x)满足微分方程 y"+y′+y=ex． 又y(0)=1，y′(0)=0，所以为求y(x)只须解上述二阶常系数线性微分方程的初值问题． 微分方程相应的齐次方程的特征方程为λ2+λ+1=0．特征根[*]通解为 [*] 设非齐次线性方程的一个特解为y*=Aex，代入方程得[*]所以，非齐次线性方程的通解为 [*] 由初始条件，得 [*] 故 [*]
解析
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考研数学三

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