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  3. 某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步，如图所示，各圆相切，各圆与三角形也相切，问沿三个圆环外围石道（不含圆切点之间的弧）散步一圈约为多少米：

某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步，如图所示，各圆相切，各圆与三角形也相切，问沿三个圆环外围石道（不含圆切点之间的弧）散步一圈约为多少米：

admin2022-03-30  22
问题 某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步，如图所示，各圆相切，各圆与三角形也相切，问沿三个圆环外围石道（不含圆切点之间的弧）散步一圈约为多少米：
选项 A、95
B、105
C、115
D、125
答案B
解析 第一步，本题考查几何计算。
    第二步，如下图。

    连接三个内切圆的圆心，可知为等边三角形，三个圆之间的弧心角都为60°，可知三个圆之间的弧长各自占三个小圆周长的1/6，剩余部分占三个小圆周长的5/6，根据圆周长公式2πr，则三个圆外弧长石道为2πr×5/6×3=5πr，求出小圆半径即可。
    第三步，求小圆半径r。做辅助线BE垂直AC，则∠EBC=30°，小圆圆心O引垂线交BC于P，连接OB，则平分∠EBC，可得，∠OBC=15°，根据tan15°=OP/BP≈0.268，BP=25，可得OP=6.675，则三个圆外弧长石道为2πr×5/6×3=5πr=104.8。
    因此，选择B选项。
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