设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATAX=ATb一定有解.

admin2021-11-09  30

问题 设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATAX=ATb一定有解.

选项

答案(1)设r(A)=r1,r(ATA)=r2,由于AX=0的解都满足(ATA)X=AT(AX)=0,故AX=0的基础解系(含n一r1个无关解)含于ATAX=0的某个基础解系(含n一r2个无关解)之中,所以 n一r1≤n一r2, 故有r2≤r1,即r(ATA)≤r(A). ① 又当ATAX=0时(X为实向量),必有XTATAX=0,即(AX)TAX=0,设AX=[b1,b2,…,bm]T,则(AX)T(AX)=[*]=0,必有b1=b2=…=bm=0,即AX=0,故方程组ATAX=0的解必满足方程组AX=0,从而有 n-r(ATA)≤n-(A), r(A)≤r(ATA). ② 由①,②得证r(A)=r(ATA). (2)ATAX=ATb有解,r(ATA)=r(ATA|ATb). 由(1)知r(A)=r(AT)=r(ATA),将AT,ATA=B以列分块,且B=ATA的每个列向量均可由AT的列向量线性表出,故AT和B=ATA的列向量组是等价向量组,ATb是AT的列向量组的某个线性组合,从而r(AT)=r(AT|ATb)=r(ATA|ATb),故 r(ATA)=r(AT)=r(AT|ATb)=r(ATA|ATb),故(ATA)X=ATb有解.

解析
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