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  3. 设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程 求f(t)．

设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程 求f(t)．

admin2017-10-23  33
问题 设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程
   
求f(t)．
选项
答案首先把右端的二重积分化为定积分．设x=rcosθ，y=rsinθ，引入极坐标(r，θ)，于是，在极坐标系(r，θ)中积分区域x2+y2≤4t2可表为0≤θ≤2π，0≤r≤2t，面积元dxdy=rdrdθ，[*]=r，于是 [*] 从而未知函数f(t)满足积分方程f(t)=8π∫0tsf(s)dx+[*]，令t=0得f(0)=1；用变上限定积分求导公式得 f’(t)=8πtf(t)+8πt[*]． 由此可知f(t)是一阶线性微分方程y’一8πty=8πt[*]满足初始条件y(0)=1的特解．解出可得 f(t)=(1+4πt2)[*]．
解析
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考研数学三

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