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  3. 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=。求： (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)。

假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=。求： (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)。

admin2017-08-28  28
问题 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=。求：
(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)；
(Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)。
选项
答案(Ⅰ)根据题意P{Y=-1}=[*]，P{Y=1}=[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以 Z=XY的分布函数为 FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=-1}P{XY≤z｜Y=-1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=I} =P{Y=-1}P{-X≤z｜Y=-1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1} =P{Y=-1}P{X≥-z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 [*] (Ⅱ)由于V=｜X-Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数FV(v)=P{X-Y≤v}=0；当v≥0时， FV(v)=P{-v≤X-Y≤v} =P{Y=-1}P{-v≤X-Y≤v｜Y=-1}+P{Y=1}P{-v≤X-Y≤v｜Y=1} [*] 综上计算可得， [*] 由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学一

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