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已知F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆内,则双曲线的离心率的取值范围是( )。
已知F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆内,则双曲线的离心率的取值范围是( )。
admin
2017-12-07
2
问题
已知F
1
,F
2
分别是双曲线
(a>0,b>0)的左、右焦点,过F
2
与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F
1
F
2
为直径的圆内,则双曲线的离心率的取值范围是( )。
选项
A、
B、(2,+∞)
C、(1,2)
D、
答案
C
解析
符合题意的直线共有两条,一条斜率为
,另一条斜率为
,此两种情况产生的两个点M关于x轴对称,故只需要讨论一种情况即可。设直线方程为y=
(x-c),与双曲线的渐近线y=
联立,可得交点坐标为
。由于F
1
(-c,0),F
2
(c,0),故
,由题可知,点M在圆内,故有∠F
1
MF
2
为钝角,
,代入计算得,b
2
<3a
2
,故e
2
=
=4,即e<2,又双曲线的离心率e>1,综上可知,1<e<2。
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