2. 考研
  3. 设A为反对称矩阵，则 (1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值． (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη＝0． (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

设A为反对称矩阵，则 (1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值． (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη＝0． (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

admin2018-11-23  14
问题 设A为反对称矩阵，则
    (1)若k是A的特征值，－k一定也是A的特征值．
    (2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη＝0．
    (3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．
选项
答案(1)若k是A的特征值，则k也是AT的特征值．而AT＝－A，于是－K是A的特征值． (2)设η的特征值为λ，则Aη＝λη． ληTη＝ηTAη＝(ATη)Tη＝(－Aη)Tη＝－ληTη． λ不为0，则ηTη＝0． (3)A为实反对称矩阵，则由上例知道，－A2＝ATA的特征值都是非负实数，从而A2的特征值都是非正实数．设Aλ是A的特征值，则λ2是A2的特征值，因此λ2≤0．于是λ为0．或为纯虚数．
解析
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考研数学一

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