[2001年] 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).

admin2019-03-30  42

问题 [2001年]  设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
         
证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).

选项

答案证一 将ξ换为x,待证等式化为 f’(x)-(1-1/x)f(x)=0, f’(x)-(x-lnx)’f(x)=0, e-(x-lnx)f’(x)-e-(x-lnx)(x-lnx)’f(x)=0, e-(x-lnx)f’(x)+[e-(x-lnx)]’f(x)=[e-(x-lnx)f(x)]’=0, 则应构造的辅助函数为 F(x)=e-(x-lnx)f(x)=xe-xf(x). 下用罗尔定理证明中值等式.由积分中值定理知,至少存在一点ξ1∈[0,1/k][*][0,1],使 [*] 即1·e-1f(1)=ξ1eξ1f(ξ1),亦即F(1)=F(ξ1).又F(x)在[ξ1,1]上满足罗尔定理的其他条件,故由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(ξ1,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=0, 即 e1-ξ[f(ξ)-ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0, 亦即 f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ). 证二 用积分法求出辅助函数.视f’(x)=(1-1/x)f(x)为f(x)所满足的齐次微分方程,由其通解公式得到 [*] 因而F(x)=xe-xf(x).下同解一略. 证三 由题设[*]首先想到使用积分中值定理.由该定理知,至少存在一点ξ∈[0,1/k][*][0,1],使 [*] 如果构造辅助函数F(x)=xe1-xf(x),则F(1)=1·e0f(1)=f(1),即 F(1)=f(1)=ξ1e1-ξ1f(ξ1)=F(ξ1). 又F(x)在[ξ1,1]上连续,在(ξ1,1)内可导,于是由罗尔定理知,存在一点ξ∈(ξ1,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=e1-ξ[f(ξ)-ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0, 即 f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ), ξ∈(0,1).

解析
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