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(Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件); (Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件.
(Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件); (Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件.
admin
2016-05-03
49
问题
(Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件);
(Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件.
选项
答案
(Ⅰ)费马定理:设f(x)在x=x
0
处可导,并且f(x
0
)为f(x)的极值,则必有f’(x
0
)=0. 证明:设f(x)在x=x
0
处可导,故存在x=x
0
的某邻域U(x
0
),使得f(x)在U(x
0
)内有定义.又设f(x
0
)为f(x)的极值(不妨认为f(x
0
)为f(x)的极大值),故知又存在x=x
0
的一个邻域 [*] 故f’
-
(x
0
)=f’
+
(x
0
),所以f’(x
0
)=0.(Ⅰ)证毕. (Ⅱ)极值的第一充分条件定理:设f(x)在x=x
0
处连续,且在x=x
0
的某去心邻域[*](x
0
)内可导,若在
0
的左侧[*]内f’(x)<0(>0),则f(x)在x=x
0
处取得极大值(极小值)f(x
0
). 证明:只证括号外情形,括号内情形是类似的.设x∈[*](x
0
)且x<x
0
,由拉格朗日中值定理, f(x)一f(x
0
)=f’(ξ
1
)(x—x
0
)<0,x<ξ
0
<x
0
,若x∈[*](x
0
)且x>x
0
,则有 f(x)一f(x
0
)=f’(ξ
2
)(x一x
0
)<0,x>ξ
2
>x
0
. 所以当x∈[*](x
0
)但x≠x
0
时,有f(x)一f(x
0
)<0,从而知f(x
0
)为f(x)的一个极大值. 举例说明定理的条件是充分而非必要的. 例:取 [*] 易见,存在x=0的去心邻域[*]时,f(x)≥f(0),故x=0是f(x)的极小值点. 但当x≠0时, [*] 无论取[*](0)多么小,当x→0时,f(x)的第一项趋于0,而第二项cos[*]在一1与1之间振荡,所以f’(x)并不保持确定的符号,并不满足充分条件,f(0)仍可以是极值.
解析
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考研数学三
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