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  3. 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0求f(x)．

设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0求f(x)．

admin2022-11-02  20
问题 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0求f(x)．
选项
答案因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0可化为f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0，两边对x求导得F’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，则方程F’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x．令F’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x．
解析
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考研数学三

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