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设有向量组(I):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T 和 向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T. 试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值
设有向量组(I):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T 和 向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T. 试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值
admin
2014-05-19
35
问题
设有向量组(I):α
1
=(1,0,2)
T
,α
2
=(1,1,3)
T
,α
3
=(1,-1,a+2)
T
和
向量组(Ⅱ):β
1
=(1,2,a+3)
T
,β
2
=(2,1,a+6)
T
,β
3
=(2,1,a+4)
T
.
试问:当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案
对(α
1
,α
2
,α
3
丨β
1
,β
2
,β
3
作初等行变换,有 (α
1
,α
2
,α
3
丨β
1
,β
2
,β
3
)=[*] [*] (1)当a≠-1时,行列式丨α
1
,α
2
,α
3
丨=a+1≠0,由克莱姆法则,知三个线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
i
(i=1,2,3)均有唯一解.所以,β
1
,β
2
,β
3
可由向量组(I)线性表出. 由于行列式 丨β
1
,β
2
,β
3
丨=[*] 故对Va,方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=α
j
(j=1,2,3)均有唯一解.所以,β
1
,β
2
,β
3
可由向量组(I)线性表出.恒有唯一解,即β
1
,β
2
,β
3
总可由向量组(Ⅱ)线 性表出. 因此,当a≠-1时,向量组(I)与(Ⅱ)等价. (2)当a=-1时,有 [*] 由于秩r(α
1
,α
2
,α
3
)≠r(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
),线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
1
无解,故向量β
1
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.因此,向量组(I)与(Ⅱ)不等价.
解析
所谓向量组(I)与(II)等价,即向量组(I)与(Ⅱ)可以互相线性表出.若方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β有解,即β可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.若对同一个a,三个方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
i
(i=1,2,3)均有解,即向量组(II)可以由(I)线性表出.
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考研数学三
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