设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值的和为l，特征值的乘积为－12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

admin2019-11-03 26

问题设二次型

，其中二次型的矩阵A的特征值的和为l，特征值的乘积为－12。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

选项

答案(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为A[*] 设A的特征值λ₁，λ₂，λ₃满足已知条件，则λ₁＋λ₂＋λ₃＝a+2-2＝1，λ₁＋λ₂＋λ₃＝｜A｜＝-4a－2b²＝-12。解得a＝l，b＝±2，已知b>0，因此a＝1，b＝2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*] 解得A的三个特征值分别为2，2，－3。由 [*] 可求得属于特征值2的特征向量有两个，分别为ξ₁＝(0，1，0)^T，ξ₂＝(2，0，1)^T。由 [*] 可求得属于特征值一3的特征向量为ξ₃＝(1，0，一2)^T。由于A的三个特征向量已经两两正交，因此只需要单位化，即 [*] 可得正交矩阵 [*] 令x＝Qy,则有 [*]

解析本题主要考查特征值的性质、特征值和特征向量的求解以及用正交变换法化二次型为标准形。

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考研数学一

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