设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,且满足λ∈(0,1)为常数.求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)=一f(ξ)/ξ.

admin2019-06-29  38

问题 设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,且满足λ∈(0,1)为常数.求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)=一f(ξ)/ξ.

选项

答案令F(x)=xf(x),显然F(x)在[0,1]上可微.应用积分中值定理得 [*] 又 F(ξ1)=ξ1f(ξ1), 则 F(ξ1)=F(1). 于是对F(x)在[ξ1,1]上应用罗尔定理知,至少存在ξ∈(ξ1,1)c(0,1),使得[*]

解析
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