一同学在电脑中打出如下圆和三角形相交出现的序列：△○△△○△△△△○△△△△△△△△○△△△△△△△△△△△△△△△△○……若将此若干个图形依此规律继续下去得到一图形系列，那么在前2009个图形中有( )个圆。

admin2014-12-22 24

问题一同学在电脑中打出如下圆和三角形相交出现的序列：△○△△○△△△△○△△△△△△△△○△△△△△△△△△△△△△△△△○……若将此若干个图形依此规律继续下去得到一图形系列，那么在前2009个图形中有( )个圆。

选项 A、8
B、9
C、10
D、11

答案C

解析令第一组△和○的个数之和为a₁，第二组△和○的个数之和为a₂，…，
则有：a₁=1=1，a₂-1=2，a₃-1=2²，a₄-1=2³，a₅-1=2⁴，…，a_n-1=2^n-1，这n个式子左右分别相加得：S_n-n=1+2+2²+…+2^n-1=

=2ⁿ-1，故S_n=2ⁿ+n-1。
当n=10时，S_n=2¹⁰ⁿ+10-1=1033；当n=11时，S_n=2¹¹+11-1=2058，显然S_n＜2009＜S₁₁，故前2009个图形中有10个圆，选C。

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中学数学

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