(1)若A可逆且A~B,证明:A*~B*; (2)若A~B,证明:存在可逆矩阵P,使得AP~BP.

admin2016-10-24  34

问题 (1)若A可逆且A~B,证明:A*~B*
(2)若A~B,证明:存在可逆矩阵P,使得AP~BP.

选项

答案(1)因为A可逆且A~B所以B可逆,A,B的特征值相同且|A|=|B|. 因为A~B,所以存在可逆矩阵P,使得P一1AP=B, 而A*=|A|A一1,B*=|B|B一1, 于是由P一1AP=B,得(P一1AP)一1=B一1,即P一1A一1P=B一1, 故P一1|A|A一1P=|A|B一1或P一1A*P=B*,于是A*~B*. (2)因为A~B,所以存在可逆阵P,使得P一1AP=B,即AP=PB,于是AP=PBPP一1=P(BP)P一1,故AP~BP.

解析
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