设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．

admin2017-10-23 29

问题设f(x)=sinx+∫₀^xe^tf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．

选项

答案设u=x一t，则∫₀^xe^tf(x一t)dt=e^x∫₀^xe^—uf(u)du，故原方程整理后为 e^—xf(x)=e^—xsinx+∫₀^xe^—uf(u)du．在方程中令x=0得f(0)=0，再将方程两边对x求导，得 e^—xf’(x)一e^—xf(x)=e^—xcosx—e^—xsinx+e^—xf(x)．化简得一阶线性微分方程 f’(x)一2f(x)=cosx—sinx． (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为 f(x)=Ce^2x+e^—2x∫e^—2x(cosx—sinx)dx．分部积分两次可得 ∫e^—2x(cosx一sinx)dx=[*]e^—2x(3 sinx一cosx)+C—，其中C是任意常数．故原微分方程的通解为 [*]

解析

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