2. 公务员
  3. 设数列{an}的前{an}项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1、2、3…，其中A，B为常数， (1)求A与B的值； (2)证明：数列{an}为等差数列； (3)证

设数列{an}的前{an}项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1、2、3…，其中A，B为常数， (1)求A与B的值； (2)证明：数列{an}为等差数列； (3)证

admin2015-11-09  51
问题 设数列{an}的前{an}项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1、2、3…，其中A，B为常数，
    (1)求A与B的值；
    (2)证明：数列{an}为等差数列；
    (3)证明：不等式对任何正整数m、n都成立．
选项
答案(1)依题意有S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝7，S3＝a1＋a2＋a3＝18． 因为(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝An＋B， 所以[*] 所以A＝－20，B＝－8． (2)证明：由(1)得(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8①， 所以(5n－3)Sn+2－(5n＋7)Sn+1＝－20n－28②． ②－①得：(5n－3)Sn+2－(10n－1)Sn+1＋(5n＋2)Sn＝－20③， 所以(5n＋2)Sn＋3－(10n＋9)Sn＋2＋(5n＋7)Sn+1＝－20④． ④－③得：(5n＋2)Sn+3－(15n＋6)Sn+2＋(15n＋6)Sn+1－(5n＋2)Sn＝0⑤． 又因为an+1＝Sn+1－Sn， 所以由⑤有(5n＋2)an+3－(10n＋4)an+2＋(5n＋2)an+1＝0． 因为5n＋2≠0， 所以an+3－2an+2＋an+1＝0． 所以an+3－an+2＝an+2－an+1，n≥1， 又因为a3－a2＝a2－a1＝5， 所以数列{an}是首项为1，公差为5的等差数列． (3)证明：由(2)知，a＝1＋5(n－1)＝5n－4， 要证[*]， 只需证5amn＞1＋aman＋2[*] 因为aman＝(5m－4)(5n－4)＝25mn－20(m＋n)＋16，amn＝5mn－4， 所以只需证5(5mn－4)＞1＋25mn－20(m＋n)＋16＋2[*]， 即只需证20m＋20n－37＞2[*]． 因为2[*]≤am＋an＝5m＋5n－8． 又因为m、n为正整数，所以15m＋15n＝29≥1，所以2[*]≤5m＋5n－8＜(5m＋5n－8)＋(15m＋15n－29)＝20m＋20n－37． 所以不等式[*]＞1对任意的正整数m，n都成立．
解析
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